Factores integrantes para resolver Ecuaciones Diferenciales
Uno de los recursos más usados para resolver ecuaciones diferenciales es adecuar la ecuación diferencial a la forma de una Ecuación Diferencial Exacta, con el fin de poder obtener un factor que nos permita integrar la ecuación mediante formas integrales conocidas.
Generalmente dicho factor es obtenido al adecuar la Ecuación Diferencial a resolver a alguna formula de derivación, las mas usadas son:
Para Ecuaciones Exactas:
.- La regla de la cadena: (g o f)'(x)= g`[f(x)]*f'(x)
Para Ecuaciones Diferenciales Lineales:
.- La regla del producto: (f * g)' = f*g' + g* f'
La forma de utilizar la primera ecuación es de la siguiente forma.
Conociendo que la derivada parcial con respecto a "x" de la función "g", es:
g(x)=f(x, y(x)), y su derivada es:
δ g(x)/δx = δg/δx + δg/δy*dy/dx
Y que la forma de la ecuación exacta se adapta a esta forma, como se hace evidente comparando las dos formas:
Forma de la Ecuación Exacta: M(x,y)dx+N(x,y)dy=0
Escribiendo la última ecuación de forma que se adecue al segundo miembro de la derivada parcial, igualando a cero y comparando, tenemos:
δg/δx + δg/δy*dy/dx=0
M(x,y) + N(x,y)dy/dx =0 ... (1)
Y además, haciendo uso de la regla que define una ecuación exacta, la cual es:
δM/δy = δN/δx
Podemos encontrar un factor integrante para la ecuación exacta, suponiendo una solución μ(x,y) que se multiplica a la ecuación (1), y se despeja poniéndola en términos de dicha ecuación.
El resultado, utilizando las ecuaciones que hemos enunciado, es:
μ(x)=е^∫(Mx-Ny/N)dx
ó
μ(y)=е^∫(Nx-My/N)dy
Obviamente, es necesario desglozar los pasos para hacer evidente éste resultado. Esta pequeña aportación puede servir de guía para encontrar los factores integrantes de una ecuación exacta.
Un desarrollo paso a paso para encontrar el Factor Integrante que ayude a integrar una Ecuación Diferencial Lineal, lo desarrollo en el siguiente artículo: Qué es el factor integrante o factor de integración (da click aquí), donde se describe de donde sala dicho factor que ayuda a integrar una Ecuación Diferencial Lineal de primer orden.
Les invito a visitar mi BLOG: Ecuaciones Diferenciales Ejercicios Resueltos
Saludos
Alejandro Vivas Riverol
