Su Parábola...!!!
Por último presentamos un resultado demostrado por Roberval usando movimientos, quizá como más abajo, y demostrado rigurosamente, a la manera de Arquímedes, por Pascal en 1658.
En la figura siguiente, prolongamos el arco (naranja) 
en linea recta hasta un punto 
tal que la longitud 
es la mitad de la longitud del arco 
Al mover 
sobre la espiral, el punto describe una parábola porque la longitud del arco 
y por tanto 
aumenta doblemente con el aumento de 
(una vez por aumentar el radio y otra por el ángulo, que aumenta en la misma proporción que el radio), es decir aumenta proporcionalmente al cuadrado de 
El resultado de Roberval y Pascal es:
- La longitud del arco verde de la espiral (arco
) es igual a la longitud del arco rojo de la parábola (arco 
).
Además se cumple que:
- El área encerrada en el perímetro verde es igual al area encerrada en el perímetro rojo.
Demostramos que al mover el punto sobre la espiral, el punto se mueve en cada instante a la misma velocidad que el punto :
Descomponemos el vector velocidad del punto de la espiral en 2 componentes rectangulares: uno con la dirección del radio vector y otro perpendicular a éste.
Como la tangente a la espiral tiene la dirección de la suma de las componentes rectangulares, éstas estarán en la misma proporción que la que hay entre y 
, donde es la subtangente polar.
Descomponemos el vector velocidad del punto de la parábola en 2 componentes rectangulares: uno con la dirección de 
y otro con la de 
Como la tangente a la parábola tiene la dirección de la suma de las componentes, éstas estarán en la misma proporción que la que hay entre y 
, donde 
es la intersección de la tangente con el eje de la parábola.
Pero 
, y 
, por la propiedad de las tangentes a la parábola, arco
, por la construcción de la parábola, y arco
, por la propiedad de la subtangente polar de la espiral.
Por tanto, en cada instante la razón entre los componentes de la velocidad es la misma para y para 
Como al moverse la componente en la dirección es igual en magnitud a la componente de en la direción , resulta que en cada instante la magnitud de la velocidad de es la misma que la de y por tanto y recorren longitudes iguales entre los mismos instantes.
El área encerrada en el perímetro verde es igual al área encerrada en el perímetro rojo porque ésta es igual a la tercera parte del rectángulo 
y éste es igual al sector 
(que es igual a los triángulos 
y 
), y Arquímedes demostró que el área del sector es el triple del área barrida al generar la espiral.
