Ejemplifico este caso con un problema:
PROBLEMA
Se aplica una fuerza electromotriz de 100V a un circuito en serie RC en el que la resistencia es de 200 ohms y la capacitancia de 10^(-4) farads. Determine la carga q(t) del capacitor, si q(0)=0. Encuantre la corriente i(t). El circuito esta descrito en la Figura 1.
Modelado del Circuito Electrico con Ecuaciones Diferenciales. Este ejercicio lo pueden encontrar desarrollado con mas detalle y na tipografía mas clara en el siguiente link, da click aquí
Elementos del Circuito. Caídas de Voltaje en función de la corriente i(t) y la carga q(t)
Inductor: L(d i)/(d t) =L(d^2q)/(d t^2)
Resistor: i R =R(d q)/(d t)
Capacitor: 1/C q
Solucion para encontrar la carga del circuito RC conectado en serie
Para nuestro caso la ecuacion diferencial a resolver, segun la ecuacion (1) y sustituyendo los valores del problema planteado, es:
200 (d q)/(d t)+ 1/(1×10^(-4))q=100
Resolviendo la ecuaci'on (6) por el m'etodo de los 4 pasos:
I. Forma est'andar:
(d y)/(d x)+P(x) y=g(x) ⇒ (d q)/(d t)+ 50 q=1/2
II. Factor Integrante:
e^(intP(x) d x) = e^(int50 d t)
= e^(50int d t)
= e^(50 t)
III. Forma de la solucion:
y=y_c +y_p ⇒ q(t)=q tr(t)+q ps(t)
y_c=C e^( intP(x)d x) ⇒ q tr_(t)=C e^(-int50 d t)
⇒ q tr(t)=C e^(-50 t)
Donde: q tr es la carga transitoria del capacitor en el circuito RC en serie.
y_p=1/(e^(intP(x) d x))inte^(intP(x) d x)f(t)d x ⇒ q s(t)=1/(e^(50t ))inte^(50t )∗1/2 d t
⇒ q s(t)=1/(2∗50∗e^(50t ))inte^(50t )(50)d t
⇒ q s(t)=1/(100 ∗e^(50t ))inte^(50t )(50) d t
⇒ q s(t)=1/100∗e^(-50 t)[e^(50 t)]
⇒ q s(t)=1/100
Por tanto la carga (total en el circuito), buscada es:
q(t) = q tr(t)+q s(t)
= C e^(-50 t)+1/100
Para encontrar el valor de "C", por tanto, sustituimos los valores iniciales en la ecuación anterior:
q(t) = C e^(-50 t)+1/100
0 = C e^(-50 (0))+1/100
0 = C(1)+1/100
0 = C+1/100
Esto implica que:
C=-1/100
De donde la Carga en el capacitor buscada es:
q(t)=-1/100 e^(-50 t)+1/100
Espero les sirva.
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